Question

已知α∈(0，

π

2

)，tan(α+

π

4

)=3．
（1）求cosα的值；
（2）求sin(2α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用tan（α+

π

4

）=3，可求得tanα的值，從而可求得cosα的值；
（2）由（1）中cosα的值可求得sin2α與cos2α的值，利用兩角和的正弦即可求得sin（2α+

π

3

）的值．

解答：解：（1）∵tan（α+

π

4

）=3，
∴

tanα+tan π 4

1-tanαtan π 4

=

tanα+1

1-tanα

=3，
∴tanα=

1

2

．
又α∈（0，

π

2

），
∴cosα=

2

5

=

2 5

5

；
（2）由（1）知，sinα=

5

5

，
∴sin2α=2sinαcosα=2×

2 5

5

×

5

5

=

4

5

，
cos2α=2cos²α-1=

8

5

-1=

3

5

，
∴sin（2α+

π

3

）
=sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

2

=

4+3 3

10

．

點評：本題考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，考查兩角和與差的正弦與余弦與正切，屬于中檔題．