Question

1．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$與圓x²+y²=2a²的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，且PF₁=3PF₂，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先由雙曲線定義和已知求出兩個(gè)焦半徑的長，再由已P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$與圓x²+y²=2a²的一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立可得P（$\frac{a}{c}$$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{ab}{c}$），利用|PF₂|=a，可得關(guān)于a、c的等式，即可求得離心率．

解答 解：依據(jù)雙曲線的定義：設(shè)|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∵點(diǎn)P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與圓x²+y²=2a²的一個(gè)交點(diǎn)，
聯(lián)立可得P（$\frac{a}{c}$$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{ab}{c}$），
∵|PF₂|=a，
∴（$\frac{a}{c}$$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$-c）²+（$\frac{ab}{c}$）²=a²①
在雙曲線中c²=a²+b²②，
聯(lián)立①②
解得：3a⁴+2a²c²-c⁴=0③．
令a²=m，c²=n，可得：3m²+2mn-n²=0．
求得：m=-n（舍去），或$\frac{n}{m}$=3．

∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義，雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．