Question

已知函數(shù)f（1+x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f(2)=

1

2

，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若?x∈R，f′（x）＜e^x，則不等式f(x)＜ex-

1

2

（e=2.718…）的解集為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)f（1+x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，進(jìn)而得到f（0）的值，再由f′（x）＜e^x可判斷函數(shù)g（x）=f（x）-e^x的單調(diào)性，將f(x)＜ex-

1

2

轉(zhuǎn)化為f（x）-e^x＜-

1

2

=g（0），最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案．

解答：解：∵函數(shù)f（1+x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1
∵f(2)=

1

2

，∴f（0）=

1

2

∵f′（x）＜e^x∴f′（x）-e^x＜0∴[f（x）-e^x]'＜0
令函數(shù)g（x）=f（x）-e^x，則函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減
且g（0）=f（0）-e⁰=

1

2

-1=-

1

2

∵f(x)＜ex-

1

2

∴g（x）=f（x）-e^x＜-

1

2

=g（0）
∴x＞0
故答案為：（0，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性、根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式．