若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．
【答案】分析：（1）根據(jù)定義可得|x2-1|＞1再按照絕對值不等式的解法求解．
（2）證明：易知∵成立，再兩邊同乘以ab得到要證明的問題．
（3）根據(jù)定義可得，再由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行探討．
解答：解：（1）根據(jù)定義可得：|x2-1|＞1
∴x2-1＞1或x2-1＜-1
解得
（2）證明：欲證明a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離
即證|a3+b3-|＞|a2b+ab2-|，又任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b
即證
由于，＞0
∴
即證成立
∴|a3+b3-|＞|a2b+ab2-|
（3）由題意知
性質(zhì)：①函數(shù)是偶函數(shù)；
②周期T=
③在區(qū)間k∈z是增函數(shù)，在k∈z是減函數(shù)
④最大值為1，最小值為
⑤定義域
點(diǎn)評：本題通過新定義來考查絕對值不等式的解法，絕對值不等式的證明，構(gòu)造新函數(shù)并研究其性質(zhì)，設(shè)置新穎，考查豐富，是一道好題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x，y，m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y靠近m．
（Ⅰ）若x+1比-x靠近-1，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）①對任意x＞0，證明：ln（1+x）比x靠近0；②已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+21-n，證明：a1a2a3…an＜2e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺一模）若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．若x2-1比1遠(yuǎn)離0，則x的取值范圍是
(-∞，-
2
)∪(
2
，+∞)
(-∞，-
2
)∪(
2
，+∞)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x，y，m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y更接近m．
（1）若x2比4更接近1，求x的取值范圍；
（2）a＞0時(shí)，若x2+a比（a+1）x更接近0，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
．

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