Question

5．已知x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，函數(shù)y=sinx-cosx的值域為[0，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得：y=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），再根據(jù)題意可得x-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，然后利用正弦函數(shù)的圖象可得0≤sin（x-$\frac{π}{4}$）≤1，進而得解．

解答 解：由題意可得：y=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
因為x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
所以x-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以0≤sin（x-$\frac{π}{4}$）≤1，
所以：0≤y≤$\sqrt{2}$，即函數(shù)y=sinx-cosx的值域為[0，$\sqrt{2}$]．
故答案為：[0，$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，即值域與定義域．解題的關(guān)鍵是利用兩角和與差的正弦余弦該點對函數(shù)解析式進行正確化簡，以及對正弦函數(shù)的性質(zhì)的熟練運用，屬于基礎(chǔ)題．