Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上為增函數(shù)，在[0，6]上為減函數(shù)，且方程f（x）=0的三個根分別為1，x₁，x₂．
（1）求實數(shù)b的取值范圍；
（2）求x₁²-4x₁x₂+x₂²的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）利用由題設f′（x）=0兩根為t₁=0，t₂∈[6，+∞），即可求實數(shù)b的取值范圍；
（2）利用韋達定理，結合b≤-9，即可求x₁²-4x₁x₂+x₂²的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，由題設f′（x）=0兩根為t₁=0，t₂∈[6，+∞），
則c=0，t2=-

2b

3

≥6，所以b≤-9；
（2）由（1）和條件得f（1）=0=1+b+c+d，c=0⇒f（x）=（x-1）（x²+（b+1）x+（b+1）），
所以x₁，x₂是方程x²+（b+1）x+b+1=0的兩根，所以△=（b+1）²-4（b+1）≥0，b≤-9，
即得b≤-9，又x₁+x₂=-（b+1），x₁x₂=（b+1），
所以x12-4x1x2+x22=(x1+x2)2-6x1x2=(b+1)2-6(b+1)(b≤-9)，x12-4x1x2+x22=b2-4b-5(b≤-9)≥(-9)2-4×(-9)-5=112，
所以x12-4x1x2+x22的范圍是[112，+∞）

點評：本題主要考查了導數(shù)在函數(shù)極值中的應用，三次函數(shù)的根與極值點間的關系，將變量表示為關于另一變量的函數(shù)的能力，代數(shù)變換能力，轉化化歸的思想方法．