Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)的和A₄=60，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的和為34，等比數(shù)列{b_n}的前四項(xiàng)的和B₄=120，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的和為90．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，且{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

a2+a4=34 a1+a3=26

，從而求出a_n=4n+5（n∈N₊）．由題意知

b1+b3=30 b2+b4=90

，從而求出b_n=3ⁿ．
（2）由c_n=a_n•b_n=（4n+5）•3ⁿ，由此能求出S_n=

1

2

[（4n+3）•3ⁿ⁺¹-9]．

解答： （本小題12分）
解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)的和A₄=60，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的和為34，
∴

a2+a4=34 A4=60

，即

a2+a4=34 a1+a3=26

，
∴2d=8．
解得d=4，a₁=9．
∴a_n=4n+5（n∈N₊）．
∵等比數(shù)列{b_n}的前四項(xiàng)的和B₄=120，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的和為90．
由題意知

B4=120 b2+b4=90

，即

b1+b3=30 b2+b4=90

，
解得q=3，b₁=3，
∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ（n∈N₊）．（6分）
（2）由c_n=a_n•b_n=（4n+5）•3ⁿ，
∴S_n=9•3+13•3²+17•3³+…+（4n+5）•3ⁿ．
兩邊同乘以3，得
3S_n=9•3²+13•3³+17•3⁴+…+（4n+1）•3ⁿ+（4n+5）•3ⁿ⁺¹．
兩式相減，得
-2S_n=9•3+4•3²+4•3³+…+4•3ⁿ-（4n+5）•3ⁿ⁺¹
=27+4•

32(1-3n-1)

1-3

-（4n+5）•3ⁿ⁺¹
=27+2•3ⁿ⁺¹-18-（4n+5）•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=

1

2

[（4n+3）•3ⁿ⁺¹-9]．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．