Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax+b+（x∈R），且f（0）=1．
（1）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若y=f（x）在x=1處的切線與y軸交于點(diǎn)B，且A（1，f（1）），求d（a）=|AB|²在a∈[c，+∞]的最小值；
（3）若a=-

1

2

，M_n=f（1）+

1

2

f（2）+

1

3

f（3）+…+

1

n

f（n）-（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

），a_n=

2n-1

6Mn

（n∈N^*），S_n=a₁+a₃+…+a_n，求證：S_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)條件求出b的值，欲使f（x）在R上單調(diào)遞增，只需f'（x）=3x²+a≥0恒成立，將參數(shù)a分離出來(lái)，研究不等式另一側(cè)的最值即可；
（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出f（x）在x=1處的切線方程，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將d（a）=|AB|²的表達(dá)式求出來(lái)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸有關(guān)進(jìn)行討論即可求出最小值．
（3）先求出f（x）的解析式，將其變形成

1

x

[f(x)-1]=x2-

1

2

，代入M_n的等式中，化簡(jiǎn)可求出M_n，從而求出a_n，利用裂項(xiàng)求和法求出前n項(xiàng)和，最后利用放縮法即可得到不等式．

解答：解：（1）由f（0）=1，得b=1，這時(shí)f（x）=x³+ax+1，f'（x）=3x²+a≥0恒成立
∴a≥-3x²得a≥0
（2）∵f（1）=1+a+1=2+a，即A（1，2+a），而x=1時(shí)，f'（1）=3+a
故在x=1處f（x）的切線方程為y-（2+a）=（a+3）（x-1）
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，即B（0，-1）
∴d（a）=|AB|²=1+（a+3）²，a∈[c，+∞）
當(dāng)c＜-3時(shí)，d（a）的最小值為1
當(dāng)c≥-3時(shí)，d（a）的最大值為d（c）=（c+3）²+1
（3）證明：a=-

1

2

時(shí)，f（x）=x³-

1

2

x+1，故

1

x

[f(x)-1]=x2-

1

2

M_n=f（1）+

1

2

f（2）+

1

3

f（3）+…+

1

n

f（n）-（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）
=

1

1

[f(1)-1]+

1

2

[f(2)-1]+…+

1

n

[f(n)-1]
=（1²+2²+…+n²）-

n

2

=

n

6

(n+2)(2n-1)
故an=

2n-1

6Mn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
S_n=a₁+a₃+…+a_n=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

) ＜

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及不等式的證明，屬于中檔題．