Question

“笑臉曲線”由曲線C₁和C₂構(gòu)成，如圖，C₁是以O(shè)為頂點(diǎn)、F為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，曲線C₂是以O(shè)為焦點(diǎn)、Q為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，A（4

2

，2）是曲線C₁和C₂的交點(diǎn)，
（1）求曲線C₁和C₂所在的拋物線方程；
（2）在C₂上是否存在點(diǎn)P，AP交x軸于M，使△OAM為等腰三角形？如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線C₁：x²=2py，C₂：x²=4q（y+q），p＞0，q＞0，由A（4

2

，2）是曲線C₁和C₂的交點(diǎn)，能求出拋物線C₁方程為x²=16y，拋物線C₂方程x²=8（y+2）．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P滿足條件，使△OAM為等腰三角形，第一種可能是OA為等腰三角形的底，于是AM傾斜角是OA傾斜角的二倍；第二種可能是OM為等腰三角形的底，此時，直線OA與直線MA斜率互為相反數(shù)；第三種可能是AM為等腰三角形的底，此時，直線AM3的傾斜角是直線OA傾斜角的一半．由此進(jìn)行分類討論，能求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線C₁：x²=2py，C₂：x²=4q（y+q），p＞0，q＞0，
∵A（4

2

，2）是曲線C₁和C₂的交點(diǎn)，
把A（4

2

，2）分別代入拋物線C₁：x²=2py，C₂：x²=4q（y+q），p＞0，q＞0，
得32=4p，解得p=8；
32=4q（2+q），解得q=2．
所以拋物線C₁方程為x²=16y，
拋物線C₂方程x²=8（y+2）．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P滿足條件，使△OAM為等腰三角形，
第一種可能是OA為等腰三角形的底，
于是AM傾斜角是OA傾斜角的二倍，
∵k_OA=

2

4

，k_AP=

2 2 4

1- 1 8

=

4 2

7

直線AP的方程為y-2=

4 2

7

（x-4

2

），
與x²=8（y+2）聯(lián)立，消去y得：
7x²-32

2

x+32=0，解得x=4

2

（A點(diǎn)橫坐標(biāo)），x=

4 2

7

，y=-

94

49

，
故存在點(diǎn)P₁（

4 2

7

，-

94

49

），使△OAM為等腰三角形．
第二種可能是OM為等腰三角形的底，
此時，直線OA與直線MA斜率互為相反數(shù)，
M（8

2

，0），直線AM的方程為y=-

2

4

（x-8

2

），
與拋物線C₂方程x²=8（y+2）．聯(lián)立，消去y得：
x²=8（y+2）=8[-

2

4

（x-8

2

）+2]，
整理得x²+2

2

x-48=0，x=-6

2

，y=7．
所以存在P₂（-6

2

，7），使△OAM為等腰三角形；
第三種可能是AM為等腰三角形的底，
此時，直線AM3的傾斜角是直線OA傾斜角的一半，
于是

2

4

=

2tanAM3O

1-tan2AM3O

，
解得tan∠AM3O=3-2

2

，
故直線AM3的方程為y-2=（3-2

2

）（x-4

2

），
與方程x²=8（y+2）聯(lián)立，消去y得：
x²-（24-16

2

）x-160+96

2

=0，x+4

2

=24-16

2

故存在點(diǎn)P₃（24-20

2

，170-120

2

），使△OAM為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法和判斷P點(diǎn)坐標(biāo)是否存在，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．