Question

“笑臉曲線”由曲線C₁和C₂構(gòu)成，如圖，C₁是以O(shè)為頂點、F為焦點的拋物線的一部分，曲線C₂是以O(shè)為焦點、Q為頂點的拋物線的一部分，A（4，2）是曲線C₁和C₂的交點，
（1）求曲線C₁和C₂所在的拋物線方程；
（2）在C₂上是否存在點P，AP交x軸于M，使△OAM為等腰三角形？如果存在，求出P點坐標，如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線C₁：x²=2py，C₂：x²=4q（y+q），p＞0，q＞0，由A（4，2）是曲線C₁和C₂的交點，能求出拋物線C₁方程為x²=16y，拋物線C₂方程x²=8（y+2）．
（2）假設(shè)存在點P滿足條件，使△OAM為等腰三角形，第一種可能是OA為等腰三角形的底，于是AM傾斜角是OA傾斜角的二倍；第二種可能是OM為等腰三角形的底，此時，直線OA與直線MA斜率互為相反數(shù)；第三種可能是AM為等腰三角形的底，此時，直線AM3的傾斜角是直線OA傾斜角的一半．由此進行分類討論，能求出P點坐標．
解答：解：（1）設(shè)拋物線C₁：x²=2py，C₂：x²=4q（y+q），p＞0，q＞0，
∵A（4，2）是曲線C₁和C₂的交點，
把A（4，2）分別代入拋物線C₁：x²=2py，C₂：x²=4q（y+q），p＞0，q＞0，
得32=4p，解得p=8；
32=4q（2+q），解得q=2．
所以拋物線C₁方程為x²=16y，
拋物線C₂方程x²=8（y+2）．
（2）假設(shè)存在點P滿足條件，使△OAM為等腰三角形，
第一種可能是OA為等腰三角形的底，
于是AM傾斜角是OA傾斜角的二倍，
∵k_OA=，k_AP==
直線AP的方程為y-2=（x-4），
與x²=8（y+2）聯(lián)立，消去y得：
7x²-32x+32=0，解得x=4（A點橫坐標），x=，y=-，
故存在點P₁（，-），使△OAM為等腰三角形．
第二種可能是OM為等腰三角形的底，
此時，直線OA與直線MA斜率互為相反數(shù)，
M（8，0），直線AM的方程為y=-（x-8），
與拋物線C₂方程x²=8（y+2）．聯(lián)立，消去y得：
x²=8（y+2）=8[-（x-8）+2]，
整理得x²+2x-48=0，x=-6，y=7．
所以存在P₂（-6，7），使△OAM為等腰三角形；
第三種可能是AM為等腰三角形的底，
此時，直線AM3的傾斜角是直線OA傾斜角的一半，
于是=，
解得tan∠AM3O=3-2，
故直線AM3的方程為y-2=（3-2）（x-4），
與方程x²=8（y+2）聯(lián)立，消去y得：
x²-（24-16）x-160+96=0，x+4=24-16
故存在點P₃（24-20，170-120），使△OAM為等腰三角形．
點評：本題考查拋物線方程的求法和判斷P點坐標是否存在，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意分類討論思想的靈活運用．