Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=a﹣ （a∈R）
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并給出證明；
（2）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x）≥ 當(dāng)x∈[1，2]時(shí)恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不論a為何實(shí)數(shù)，f（x）在定義域R上單調(diào)遞增．

下面給出證明：設(shè)x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

∵x1＜x2，∴0＜ ＜ ，

∴ ＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在定義域R上單調(diào)遞增

（2）解：∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，可得f（0）=a﹣ =0，解得a=1．

∵f（x）≥ 當(dāng)x∈[1，2]時(shí)恒成立，∴3x﹣ ×3x≥m，即m≤3x+1+ ﹣2的最小值，

設(shè)3x+1=t∈[4，10]．則g（t）=t+ ﹣2，g′（t）=1﹣ ＞0，

∴函數(shù)g（t）在t∈[4，10]上單調(diào)遞增，

∴g（t）min=g（4）= ，

∴m≤ ，此時(shí)x=1．即m的最大值是

【解析】（1）不論a為何實(shí)數(shù)，f（x）在定義域R上單調(diào)遞增．下面給出證明分析：設(shè)x1＜x2 ， 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性只要證明f（x1）﹣f（x2）＜0即可．（2）由函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，解得a=1．由f（x）≥ 當(dāng)x∈[1，2]時(shí)恒成立，可得3x﹣ ×3x≥m，即m≤3x+1+ ﹣2的最小值，設(shè)3x+1=t∈[4，10]．則g（t）=t+ ﹣2，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較．