【題目】已知橢圓的離心率為,過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為.

(1)已知點(diǎn)是橢圓上兩點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),的重心恰好是橢圓的右焦點(diǎn),求

在直線的斜率;

(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線,直線與橢圓分別交于點(diǎn),直線與橢圓分別交于點(diǎn),

,求四邊形的面積最小時(shí)直線的方程.

【答案】(1);(2)

【解析】

試題分析:(1)由橢圓的離心率為,過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為,列出方程組求出,由此能求出橢圓方程為,由重心公式得,,由此結(jié)合點(diǎn)差法能求出直線的斜率;(2)設(shè),,由題意推導(dǎo)出,若直線中有一條斜率不存在,求出四邊形的面積為;若直線,的斜率存在,設(shè)直線的方程為,,與橢圓方程聯(lián)立,得,由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求出,同理可求得,由此能求出四邊形的面積的最小值及此時(shí)直線的方程.

試題解析:(1)由題意:,解得,

所求橢圓的方程為.

設(shè),,根據(jù)題意,

,.

,

,

.

(2)設(shè),,,

則由題意:,

整理得:,

,所以.

若直線中有一條斜率不存在,不妨設(shè)的斜率不存在,則軸,

所以,

故四邊形的面積.

若直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為:

則由,得

,,

,

同理可求得,,故四邊形的面積:

(當(dāng)),

此時(shí),四邊形面積的最小值為,

所以直線方程為:.

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