【題目】已知函數(shù),
.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(2)當(dāng)時(shí),是否存在
,使得
成立?若存在,求實(shí)數(shù)
的取值范圍,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)分類討論,詳見解析;(2).
【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域,接著求導(dǎo),對參數(shù)
分類討論。
(2)假設(shè)存在,使得
成立,則對
,滿足
,將問題轉(zhuǎn)化為求
與
。
解:(1),
當(dāng)時(shí),
恒成立,即函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間為
,無單調(diào)減區(qū)間,所以不存在極值.
當(dāng)時(shí),令
,得
,當(dāng)
時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
,單調(diào)減區(qū)間為
,此時(shí)函數(shù)
在
處取得極大值,極大值為
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間為
,無單調(diào)減區(qū)間,不存在極值.當(dāng)
時(shí),函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間為
,單調(diào)減區(qū)間為
,極大值為
,無極小值
(2)當(dāng)時(shí),假設(shè)存在
,使得
成立,則對
,滿足
由可得,
.
令,則
,所以
在
上單調(diào)遞增,所以
,所以
,所以
在
上單調(diào)遞增,
所以
由(1)可知,①當(dāng)時(shí),即
時(shí),函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,所以
的最小值是
.
②當(dāng),即
時(shí),函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,
所以的最小值是
.
③當(dāng)時(shí),即
時(shí),函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.又
,所以當(dāng)
時(shí),
在
上的最小值是
.當(dāng)
時(shí),
在
上的最小值是
所以當(dāng)時(shí),
在
上的最小值是
,故
,
解得,所以
.
當(dāng)時(shí),函數(shù)
在
上的最小值是
,故
,
解得,所以
.故實(shí)數(shù)
的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若對,
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】西北某省會城市計(jì)劃新修一座城市運(yùn)動公園,設(shè)計(jì)平面如圖所示:其為五邊形,其中三角形區(qū)域
為球類活動場所;四邊形
為文藝活動場所,
,為運(yùn)動小道(不考慮寬度)
,
,
千米.
(1)求小道的長度;
(2)求球類活動場所的面積最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為
,圓柱表面上的點(diǎn)
在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為
,則在此圓柱側(cè)面上,從
到
的路徑中,最短路徑的長度為( )
A. B.
C.
D. 2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年是中國改革開放的第40周年,為了充分認(rèn)識新形勢下改革開放的時(shí)代性,某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)現(xiàn)從年齡在內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談,用
表示年齡在
內(nèi)的人數(shù),求
的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查,其中有名市民的年齡在
的概率為
.當(dāng)
最大時(shí),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用一張長為12,寬為8的鐵皮圍成圓柱形的側(cè)面,則這個(gè)圓柱的體積為_____;半徑為R的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒,那么這個(gè)圓錐筒的高是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形
是邊長為
的菱形,
,
與
交于點(diǎn)
,平面
平面
,
,
,
.
(1)求證:平面
;
(2)若為等邊三角形,點(diǎn)
為
的中點(diǎn),求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】回答下列兩個(gè)問題, 并給出例子或證明.
(1)對任意正整數(shù), 在平面上是否都存在
個(gè)不在同一條直線上的點(diǎn), 使得任意兩點(diǎn)間的距離都為正整數(shù)?
(2)在平面上是否存在兩兩不同的無限點(diǎn)列組成的點(diǎn)集, 使得
內(nèi)所有點(diǎn)不在同一條直線上, 且
內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離為正整數(shù)?
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