Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（I）求證：BC⊥PC；
（II）求PB與平面PAC所成的角的正弦值；
（III）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：方法1：綜合法（I）要證BC⊥PC，只要證AC⊥BC，由勾股定理易證，根據(jù)三垂線定理，可得BC⊥PC；（II）要求PB與平面PAC所成的角的正弦值，只要找PB在平面PAC內(nèi)的射影PC，解三角形PBC即可；（III）求點(diǎn)A到平面PBC的距離，即找過點(diǎn)A的面PBC的一條垂線段即可．
方法2：向量法：建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，（I）要證BC⊥PC，只要證

BC

•

PC

=0；（II）求PB與平面PAC所成的角的正弦值，即求

PB

與平面PAC的一個(gè)法向量

n

夾角的余弦值的絕對(duì)值即可；（III）求點(diǎn)A到平面PBC的距離，即求

AB

在平面PBC的一個(gè)法向量上的投影的絕對(duì)值．

解答：解：方法1
（I）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且AC=2

2

．
取AB的中點(diǎn)E，連接CE，
由題意可知，四邊形AECD為正方形，所以AE=CE=2，
又BE=

1

2

AB=2，所以CE=

1

2

AB，
則△ABC為等腰直角三角形，
所以AC⊥BC，
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影，BC?平面ABCD，由三垂線定理得，BC⊥PC
（II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC，PC是PB在平面PAC內(nèi)的射影，
所以∠CPB是PB與平面PAC所成的角，又CB=2

2

，
PB²=PA²+AB²=20，PB=2

5

，sinCPB=

10

5

，
即PB與平面PAC所成角的正弦為

10

5

（III）由（II）可知，BC⊥平面PAC，BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC，
過A點(diǎn)在平面PAC內(nèi)作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，
則AF的長即為點(diǎn)A到平面PBC的距離，
在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2

2

，PC=2

3

，
所以AF=

2 6

3

即點(diǎn)A到平面PBC的距離為

2 6

3

方法2
∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°
∴以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
∵PA=AD=DC=2，AB=4．
∴B（0，4，0），D（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2）
（I）∴

BC

=(2，-2，0)，

PC

=(2，2，-2)
∵

BC

•

PC

=0
∴

BC

⊥

PC

，即BC⊥PC
（II）∵

AP

=(0，0，2)，

AC

=(2，2，0)設(shè)面APC法向量

n

=（x，y，z）
∴

n • AP =0 n • AC =0

，∴

z=0 2x+2y=0

設(shè)x=-1，∴y=1∴

n

=（-1，1，0）
∵

PB

=(0，4，-2)∴cos＜

PB

，

n

＞=

PB • n

| PB |×| n |

=

10

5

即PB與平面PAC所成角的正弦值為

10

5

（III）由∵

PB

=(0，4，-2)，

PC

=(2，2，-2)設(shè)面PBC法向量

m

=（a，b，c）
∴

m • PB =0 m • PC =0

∴

4b-2c=0 2a+2b-2c=0

設(shè)a=1，∴c=2，b=1∴

m

=（1，1，2）
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為d=

| AB • m |

| m |

=

2 6

3

∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為

2 6

3

點(diǎn)評(píng)：考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理，直線和平面所成角及點(diǎn)到面的距離．方法1綜合法，考查邏輯推理能力，方法2向量法注重考查計(jì)算能力，這兩種方法都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．