【題目】已知函數(shù) ， 是函數(shù)的極值點(diǎn).

（1）若，求函數(shù)的最小值；

（2）若不是單調(diào)函數(shù)，且無最小值，證明： .

【答案】（1）的最小值為；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）在區(qū)間 單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；（2），方程（），不是單調(diào)函數(shù)，且無最小值，則方程必有個(gè)不相等的正根， 是極大值點(diǎn)， 是極小值點(diǎn)， ，只需證明。

試題解析：

（1）解： ，其定義域是 .

.

令 ，得

所以， 在區(qū)間 單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以的最小值為.

（2）解：函數(shù)的定義域是

對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得

顯然，方程（ ）

設(shè)不是單調(diào)函數(shù)，且無最小值，則方程必有個(gè)不相等的正根，所以解得

設(shè)方程的個(gè)不相等的正根是， ，其中

所以

列表分析如下：

所以， 是極大值點(diǎn)， 是極小值點(diǎn)，

故只需證明，由，且得

因?yàn)?/span>， ，所以

從而

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2016·沈陽期中)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動(dòng)(如圖所示)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已經(jīng)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，設(shè)

（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)

（2）求證

（3）若不等式（為正整數(shù)）對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，求的最大值.（解答過程可參考使用以下數(shù)據(jù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中， ， ， 平面，在平行四邊形中， ， ， ．

（1）求證： 平面；

（2）求與平面所成角的正弦值．

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【題目】第三屆移動(dòng)互聯(lián)創(chuàng)新大賽，于2017年3月～10月期間舉行，為了選出優(yōu)秀選手，某高校先在計(jì)算機(jī)科學(xué)系選出一種子選手，再從全校征集出3位志愿者分別與進(jìn)行一場(chǎng)技術(shù)對(duì)抗賽，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)， 與這三位志愿者進(jìn)行比賽一場(chǎng)獲勝的概率分別為，且各場(chǎng)輸贏互不影響.

（1）求甲恰好獲勝兩場(chǎng)的概率；

（2）求甲獲勝場(chǎng)數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面， ， ．

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）若動(dòng)點(diǎn)在底面邊界及內(nèi)部，二面角的余弦值為，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)， 的垂直平分線與線段交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明直線過定點(diǎn)，并求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）若直線為曲線的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若在定義域上有極值點(diǎn)（極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，直三棱柱中， ， ， ，點(diǎn)， 分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

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