Question

16．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（4+x）=f（x），且x∈（-2，2]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（|x+\frac{1}{x}|-|x-\frac{1}{x}|），0＜x≤2}\\{-（{x}^{2}+2x），-2＜x≤0}\end{array}\right.$則函數(shù)g（x）=f（x）-|log₄|x||的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的周期，畫(huà)出函數(shù)的圖象，函數(shù)g（x）=f（x）-|log₄|x||的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為：y=f（x）的圖象與y=|log₄|x||圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（4+x）=f（x），函數(shù)的周期為4，
且x∈（-2，2]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（|x+\frac{1}{x}|-|x-\frac{1}{x}|），0＜x≤2}\\{-（{x}^{2}+2x），-2＜x≤0}\end{array}\right.$，
函數(shù)g（x）=f（x）-|log₄|x||的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是：y=f（x）的圖象與y=|log₄|x||圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖，y=f（x）∈[0，1]，y=|log₄|x||是偶函數(shù)，當(dāng)x=4時(shí)y=1，|x|＞4與y=f（x）
的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，由函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為9個(gè)．（圖象中紅點(diǎn)）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．