Question

【題目】若數列的每一項都不等于零，且對于任意的，都有（為常數），則稱數列為“類等比數列”；已知數列滿足：，對于任意的，都有；

（1）求證：數列是“類等比數列”；

（2）若是單調遞減數列，求實數的取值范圍；

（3）若，求數列的前項之積取最大值時的值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）；

【解析】

（1）利用，再寫一式，可得即可得出結論（2）確定數列的通項，根據是單調遞減數列知，即可求出實數b的取值范圍（3）若，分類討論，利用前項之積取最大值時，n=4k（k∈N*），當n為奇數時，令得，可得，即可求解.

（1）因為,

所以，

所以，

所以，數列是“類等比數列”．

（2）由，得，

所以，

由是單調遞減數列知，

解得.

（3）記數列的前n項之積為，

當時，

由的通項公式可知，當時，，

又因為，

所以，

因而取最大值時，，

當n為奇數時，令得，所以，

因而，

所以

因而，當時，取最大值.