Question

3．設數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）證明：數列{a_n}為等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{n•（a_n+1）}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n+1=2a_n+1．變形為a_n+1+1=2（a_n+1）．即可證明．
（2）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
可得：a_n+1+1=2（a_n+1）．
∴數列{a_n+1}是等比數列，公比為2，首項為2．
∴a_n+1=2ⁿ，
可得a_n=2ⁿ-1．
（2）解：n•（a_n+1）=n•2ⁿ．
數列{n•（a_n+1）}的前n項和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
故T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．