Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

（1）求函數(shù)f（x）的極值
（2）設(shè)g（x）=

1+x

a(1-x)

[xf（x）-1]，若對任意x∈（0，1）恒有g(shù)（x）＜-2求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點把定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得原函數(shù)的極值；
（2）由題意可知，a≠0，且g(x)=

1+x

a(1-x)

lnx，又x∈（0，1），得到

1+x

1-x

lnx＜0．然后分a＜0和a＞0討論當(dāng)a＞0時，構(gòu)造函數(shù)h(x)=lnx+

2a(1-x)

1+x

，問題轉(zhuǎn)化為h_max（x）＜0．然后根據(jù)a的范圍利用導(dǎo)數(shù)分析其最大值是否小于0得答案．

解答： 解：（1）由f（x）=

1+lnx

x

，得f′(x)=(

1+lnx

x

)′=-

lnx

x2

(x＞0)，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）在x=1處取得極大值，極大值為f（1）=

1+ln1

1

=1；
（2）由題意可知，a≠0，且g(x)=

1+x

a(1-x)

lnx，
∵x∈（0，1），∴

1+x

1-x

lnx＜0．
當(dāng)a＜0時，g（x）＞0，不合題意；
當(dāng)a＞0時，由g（x）＜-2，可得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0恒成立．
設(shè)h(x)=lnx+

2a(1-x)

1+x

，則h_max（x）＜0．
求導(dǎo)得：h′(x)=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

．
設(shè)t（x）=x²+（2-4a）x+1，△=（2-4a）²-4=16a（a-1）．
①當(dāng)0＜a≤1時，△≤0，此時t（x）≥0，h′（x）≥0，∴h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
又h（1）=0，∴h（x）＜h（1）=0，此時0＜a≤1符合條件；
②當(dāng)a＞1時，△＞0，注意到t（0）=1＞0，t（1）=4（1-a）＜0，
∴存在x₀∈（0，1），使得t（x₀）=0，于是對任意x∈（x₀，1），t（x）＜0，h′（x）＜0，
則h（x）在（x₀，1）內(nèi)單調(diào)遞減，又h（1）=0，∴當(dāng)x∈（x₀，1）時，h（x）＞0，不合要求．
綜①②可得0＜a≤1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答此題的關(guān)鍵是對a＞1時的分析，要求考生有敏銳的洞察力．