Question

19．已知點A（1，0），點B為圓x²+y²=2014上的任意一點，設(shè)AB的中垂線l與OB的交點為C，則點C的軌跡方程為$\frac{{4{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}}}{2014}+\frac{{4{y^2}}}{2013}=1$．

Answer 1

分析 設(shè)B（$\sqrt{2014}cosα$，$\sqrt{2014}$sinα），求出AB的中垂線和直線OB的方程，由此能求出點C的軌跡方程．

解答 解：∵點A（1，0），點B為圓x²+y²=2014上的任意一點，設(shè)AB的中垂線l與OB的交點為C，
∴設(shè)B（$\sqrt{2014}cosα$，$\sqrt{2014}$sinα），
∴AB的中點為：（$\frac{1+\sqrt{2014}cosα}{2}$，$\frac{\sqrt{2014}sinα}{2}$），直線AB的斜率k_AB=$\frac{\sqrt{2014}sinα}{\sqrt{2014}cosα-1}$
∴AB的中垂線為：y-$\frac{\sqrt{2014}sinα}{2}$=$\frac{1-\sqrt{2014}cosα}{\sqrt{2014}sinα}$（x-$\frac{1+\sqrt{2014}cosα}{2}$），①
直線OB的方程為：$\frac{y}{x}$=$\frac{\sqrt{2014}sinα}{1+\sqrt{2014}cosα}$，②sin²α+cos²α=1，③，
聯(lián)立①②③，得：
$\frac{{4{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}}}{2014}+\frac{{4{y^2}}}{2013}=1$．
故答案為：$\frac{{4{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}}}{2014}+\frac{{4{y^2}}}{2013}=1$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的參數(shù)方程、直線的斜率、直線方程的性質(zhì)的合理運用．