Question

8．已知a，b為正實(shí)數(shù)，變量x，y滿足x+y=6$\sqrt{x+a}$+8$\sqrt{y+b}$，若x+y有最大值110，則$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{9}{11}$．

Answer 1

分析 令m=$\sqrt{x+a}$≥0，n=$\sqrt{y+b}$≥0，可得x=m²-a，y=n²-b，m²-a+n²-b=6m+8n，（m-3）²+（n-4）²=25+a+b．其圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離=d+r=5+$\sqrt{25+a+b}$．由x+y=m²+n²-a-b，x+y取得最大值110時(shí)，可得$（5+\sqrt{25+a+b}）^{2}$-a-b=110，化為a+b=11．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：令m=$\sqrt{x+a}$≥0，n=$\sqrt{y+b}$≥0，
則x=m²-a，y=n²-b，m²-a+n²-b=6m+8n，
∴（m-3）²+（n-4）²=25+a+b．
其圓心（3，4）到原點(diǎn)的距離d=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
因此其圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為d+r=5+$\sqrt{25+a+b}$．
由x+y=m²+n²-a-b，
x+y取得最大值110時(shí)，
m²+n²-a-b=$（5+\sqrt{25+a+b}）^{2}$-a-b，
=50+10$\sqrt{25+a+b}$=110，化為a+b=11．
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{11}$（a+b）$（\frac{4}{a}+\frac{1}）$=$\frac{1}{11}$（5+$\frac{4b}{a}+\frac{a}$）≥$\frac{1}{11}（5+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}）$=$\frac{9}{11}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=$\frac{22}{3}$時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、換元法、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．