Question

19．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，所有棱長都是6，頂點A₁在底面ABC內(nèi)的射影是△ABC的中心，則四面體A₁ABC，B₁ABC，C₁ABC公共部分的體積等于（　�。�

• A． 6$\sqrt{2}$
• B． 6$\sqrt{3}$
• C． 12$\sqrt{2}$
• D． 12$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)頂點A₁在底面ABC內(nèi)的射影是△ABC的中心O，連接AO并且延長交BC于點D．可得AO=$\frac{2}{3}$AD．h=A₁O=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}-A{O}^{2}}$．設(shè)AB₁∩A₁B=E，AC₁∩A₁C=F，
連接CE，BF，CE∩BF=P，則三棱錐P-ABC是四面體A₁ABC，B₁ABC，C₁ABC公共部分．又點P到底面ABC的距離d=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}h$=$\frac{1}{3}h$．S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}$．V_P-ABC=$\frac{1}{3}d{S}_{△ABC}$即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)頂點A₁在底面ABC內(nèi)的射影是△ABC的中心O，
連接AO并且延長交BC于點D．
∵AD=$3\sqrt{3}$，∴AO=$\frac{2}{3}$AD=2$\sqrt{3}$．
∴h=A₁O=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
設(shè)AB₁∩A₁B=E，AC₁∩A₁C=F，
連接CE，BF，CE∩BF=P，
則三棱錐P-ABC是四面體A₁ABC，B₁ABC，C₁ABC公共部分．
（∵EF是△A₁BC的中位線，∴$\frac{PN}{PM}$=$\frac{2}{1}$，∴PN=$\frac{2}{3}MN$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}{A}_{1}N$=$\frac{1}{3}{A}_{1}N$）
又點P到底面ABC的距離d=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}h$=$\frac{1}{3}h$=$\frac{2}{3}\sqrt{6}$．
S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}$=$9\sqrt{3}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}d{S}_{△ABC}$
=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}\sqrt{6}$×$9\sqrt{3}$
=2$\sqrt{6}$．
故選：A．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．