Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）²，g（x）=

a

2

x2，x∈（-∞，0）且a＜0．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在（-∞，0）上圖象的交點坐標；
（Ⅱ）設函數(shù)y=f（x），y=g（x）的圖象在同一交點處的兩條切線分別為l₁，l₂，是否存在這樣的實數(shù)a，使得l₁⊥l₂？若存在，請求出a的值和相應交點的坐標；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若對任意x₁∈[-1，0），存在x₂∈[-1，0），使f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接令f（x）-g（x）=0求出對應的自變量進而求出函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在（-∞，0）上圖象的交點坐標；
（Ⅱ）先求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，再求出對應的斜率，根據(jù)l₁⊥l₂，得到關于a的方程，求出a的值即可得到結論；
（Ⅲ）先把問題轉化為：g（x）在[-1，0）上的最大值不大于f（x）在[-1，0）上的最小值；再通過求導函數(shù)得到函數(shù)f（x）在[-1，0）上的最小值，與g（x）在[-1，0）上的最大值相比即可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）令f（x）-g（x）=x（x-a）²-

a

2

x²=0得x²-

5

2

ax+a²=0解得x=

a

2

，x=2a：
所以，函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在（-∞，0）上圖象的交點坐標為A（

a

2

，

a2

8

）和B（2a，2a²）．
（Ⅱ）g'（x）=ax，f'（x）=3x²-4ax+a²存在這樣的實數(shù)a，使得l₁⊥l₂，則有
（1）在點A（

a

2

，

a2

8

）處，g'（

a

2

）f'（

a

2

）=-1，
a•

a

2

•（3×

a2

4

-2a²+a²）=-1得

a4

8

=1．
∵a＜0故a=-

4	8

，此時點A坐標為（-

4， 8

2

，-

4 2

2

），
（2）在點B（2a，2a²）處，有g'（2a）f'（2a）=-1
即a•2a•（3×4a²-8a²+a²）=-1得10a⁴=-1，無解．
綜上存在a=-

4	8

使l₁⊥l₂，此時交點坐標為（-

4， 8

2

，-

4 2

2

）．
（Ⅲ）“對任意x₁∈[-1，0），存在x₂∈[-1，0），使f（x₁）≥g（x₂），''等價于g（x）在[-1，0）上的最大值不大于f（x）在[-1，0）上的最小值
設f（x）在[-1，0）上的最小值為F（a），令f'（x）=0得x₁=

a

3

，x₂=a．
由此可得f（x）在（-∞，a）和（

a

3

，0）上單調(diào)遞增，在（a，

a

3

）上單調(diào)遞減
；當x=

a

3

時，x³-2ax²+a²x=

4

27

a3．整理得（x-

4

3

a）（x-

a

3

）²=0．
即直線y=

4

27

a³與y=f（x）的圖象的另一交點的橫坐標為x=

4

3

a．
結合圖象可得
①若

a

3

＜-1即a＜-3，F(xiàn)（a）=f（x）_min=f（-1）=-（a+1）²；
②若

4

3

a＜-1≤

a

3

即-3≤a＜-

3

4

，F(xiàn)（a）=f（x）_min=f（

a

3

）=

4

27

a3；
③若

4

3

a≥-1即-

3

4

≤a＜0時，F(xiàn)（a）=f（-1）=-（a+1）²．
綜上F（a）=

-(a+1) 2 ，  a＜-3，- 3 4 ≤ a＜0 4 27 a3 ，       -3≤ a＜- 3 4

，
而g（x）在[-1，0）上單調(diào)遞增，故最小值為g（-1）=

a

2

．
當a＜-3，-

3

4

≤a＜0時，由

a

2

≤-（a+1）²得-2≤a≤-

1

2

．所以a∈[-

3

4

，-

1

2

]；
當a∈[-3，-

3

4

）時，

a

2

≤

4

27

a3得-

3

4

6

≤a≤

3

4

6

所以a∈[-

6

4

，-

3

4

）．
綜上可得a的取值范圍是[-

3 6

4

，-

1

2

]．

點評：本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．