Question

14．計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量X（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立．
（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率．
（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：

年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
發(fā)電機(jī)最多 可運行臺數(shù)	1	2	3

若某臺發(fā)電機(jī)運行，則該臺年利潤為1000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運行，則該臺年虧損160萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？

Answer 1

分析 （1）依題意，p₁=0.2，p₂=0.7，p₃=0.1．由二項分布能求出在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率．
（2）記水電站年總利潤為Y，分別求出安裝1臺、2臺、3臺發(fā)電機(jī)的對應(yīng)的年利潤的期望值，由此能求出欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝幾臺發(fā)電機(jī)．

解答 解：（1）依題意，p₁=P（40＜X＜80）=$\frac{10}{50}$=0.2，
p₂=P（80≤X≤120）=$\frac{35}{50}$=0.7，
p₃=P（X＞120）=$\frac{5}{50}$=0.1．
由二項分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為
p=${C}_{4}^{0}$（1-p₃）⁴+${C}_{4}^{1}$（1-p₃）³p₃=0.9⁴+4×0.9³×0.1=0.9477．…（5分）
（2）記水電站年總利潤為Y（單位：萬元）．
①安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形．
由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y=1000，E（Y）=1000×1=1000．…（7分）
②安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形．
依題意，當(dāng)40＜X＜80時，一臺發(fā)電機(jī)運行，此時Y=1000-160=840，因此P（Y=840）=P（40＜X＜80）=p₁=0.2；
當(dāng)X≥80時，兩臺發(fā)電機(jī)運行，此時Y=1000×2=2 000，因此P（Y=2 000）=P（X≥80）=p₂+p₃=0.8．
由此得Y的分布列如下：

Y	840	2 000
P	0.2	0.8

所以，E（Y）=840×0.2+2 000×0.8=1768．…（9分）
③安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形．
依題意，當(dāng)40＜X＜80時，一臺發(fā)電機(jī)運行，此時Y=1000-320=680，
因此P（Y=680）=P（40＜X＜80）=p₁=0.2；
當(dāng)80≤X≤120時，兩臺發(fā)電機(jī)運行，此時Y=1000×2-160=1840，
因此P（Y=1840）=P（80≤X≤120）=p₂=0.7；
當(dāng)X＞120時，三臺發(fā)電機(jī)運行，此時Y=1000×3=3 000，
因此P（Y=3 000）=P（X＞120）=p₃=0.1．
由此得Y的分布列如下：

Y	680	1840	3 000
P	0.2	0.7	0.1

所以，E（Y）=680×0.2+1840×0.7+3 000×0.1=1724．…（11分）
綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝幾臺發(fā)電機(jī)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．