【題目】如圖,在三棱錐中,為等腰直角三角形,為等邊三角形,其中O為BC中點,且.

(1)求證:平面平面PBC;

(2)若且平面EBC,其中E為AP上的點,求CE與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

（1）由題意可得,,利用線面垂直的判定定理證出平面PAO,從而得證.

（2）作PH垂直于平面ABC,垂足為H,由(1)知,點H在直線AO上,以A為原點,AC為x軸,AB為y軸,以過A點與平面ABC垂直的直線為z軸建立空間直角坐標系,求出以及平面ABC的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

(1) 證明:由題可知,,,且,

故平面PAO,又平面PBC,因此平面平面PBC.

(2)作PH垂直于平面ABC,垂足為H,由(1)知,點H在直線AO上.

如圖,以A為原點,AC為x軸,AB為y軸,以過A點與平面ABC垂直的直線為z軸建立空間直角坐標系,可得如下坐標:,,,,

設P點坐標為,利用,,可得.從.

因為E為AP上的點,故存在實數(shù),使得,點E坐標可設為,

由平面EBC知,,得,

從而,取平面ABC的一個法向量.

設CE與平面ABC所成角的為,.

故CE與平面ABC所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，，為的中點，點在上，平面，在的延長線上，且.

(1)證明:平面.

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（1）若該高中學校有2000名在校學生，編號分別為0001，0002，0003，…，2000，請用系統(tǒng)抽樣的方法，設計一個從這2000名學生中抽取50名學生的方案.（寫出必要的步驟）

（2）該校根據(jù)助學金政策將助學金分為3檔，1檔每年3000元，2檔每年2000元，3檔每年1000元，某班級共評定出3個1檔，2個2檔，1個3檔，若從該班獲得助學金的學生中選出2名寫感想，求這2名同學不在同一檔的概率.

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【題目】某電視臺舉行文藝比賽，并通過網(wǎng)絡對比賽進行直播．比賽現(xiàn)場有5名專家評委給每位參賽選手評分，場外觀眾可以通過網(wǎng)絡給每位參賽選手評分．每位選手的最終得分由專家評分和觀眾評分確定．某選手參與比賽后，現(xiàn)場專家評分情況如表；場外有數(shù)萬名觀眾參與評分，將評分按照[7，8），[8，9），[9，10]分組，繪成頻率分布直方圖如圖：

專家

A

B

C

D

E

評分

9.6

9.5

9.6

8.9

9.7

（1）求a的值，并用頻率估計概率，估計某場外觀眾評分不小于9的概率；

（2）從5名專家中隨機選取3人，X表示評分不小于9分的人數(shù)；從場外觀眾中隨機選取3人，用頻率估計概率，Y表示評分不小于9分的人數(shù)；試求E（X）與E（Y）的值；

（3）考慮以下兩種方案來確定該選手的最終得分：方案一：用所有專家與觀眾的評分的平均數(shù)作為該選手的最終得分，方案二：分別計算專家評分的平均數(shù)和觀眾評分的平均數(shù)，用作為該選手最終得分．請直接寫出與的大小關系．

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【題目】已知四棱錐，，，，，，平面.

（1）求證：平面平面；

（2）當時，求直線和平面所成角的正弦值.

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（2）當時，求點到平面的距離.

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