Question

如圖，Q為橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一動點，F(xiàn)（2，0）為橢圓E的右焦點．QF的最小值為1，最大值為5，點A（1，0），點T為直線x=4上一動點，過F點的直線l與AT垂直，l上一點P滿足

PA

•

PT

=0．
（1）AP長是否為定值？若是，求出該定值，若不是，說明理由．
（2）求PQ最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由題意設(shè)P（x，y），T（4，y₁），由數(shù)量積的運算和垂直的條件列出方程，化簡后得到關(guān)于x、y的方程，判斷出點P的軌跡，即可得|AP|的長是定值；
（2）由題意求出a，b得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)Q（x₀，y₀）（-3≤x₀≤3），由點在橢圓上得坐標(biāo)橢圓的方程，由|PQ|=|CP|-|CQ|列出式子，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得|PQ|最小值．

解答： 解：（1）由題意設(shè)P（x，y），T（4，y₁），
因為AT⊥PF，F(xiàn)（2，0），A（1，0），所以

AT

•

FP

=0，
則（3，y₁）•（x-2，y）=0，即3（x-2）+yy₁=0，①
因為

PA

•

PT

=0，所以（1-x，-y）•（4-x，y₁-y）=0，
即（x-1）（x-4）+y（y-y₁）=0，②，
由①②得，x²-2x+y²-2=0，即（x-1）²+y²=3，
所以點P是以A為圓心、

3

為半徑的圓，
則|AP|的長是定值：

3

；
（2）由題意得，F(xiàn)（2，0）為橢圓E的右焦點，F(xiàn)的最小值為1，最大值為5，
所以c=2，a-c=1，且a+c=5，解得a=3，則b²=9-4=5，
所以橢圓方程是：

x2

9

+

y2

5

=1，
設(shè)Q（x₀，y₀）（-3≤x₀≤3），則

x02

9

+

y02

5

=1，解得y02=5-

5x02

9

，
由（1）知，點P是以A為圓心、

3

為半徑的圓，
所以|PQ|=|AQ|-|AP|=

(x0-1)2+y02

-

3

=

(x0-1)2+5- 5x02 9

-

3

=

4x02 9 -2x0+6

-

3

，
所以當(dāng)x₀=-

-2

2× 4 9

=

9

4

時，

4x02 9 -2x0+6

取到最小值

15

2

，
此時|PQ|取到最小值

15

2

-

3

．

點評：本題考查直線、圓、橢圓等知識的綜合應(yīng)用，向量數(shù)量積運算和垂直條件，考查運算求解能力和探究能力，函數(shù)與方程思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想．