Question

已知函數(shù)，
（1）求f（x）的定義域；　
（2）討論f（x）函數(shù)的增減性．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)，∴a^x-1＞0．
當(dāng)a＞1 時(shí)，由 a^x-1＞0 解得 x＞0，此時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，由 a^x-1＞0 解得 x＜0，此時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+0）．
（2）當(dāng)a＞1 時(shí)，y=a^x-1是定義域（0，+∞）上的增函數(shù)，f（x）=log_at是（0，+∞）上的增函數(shù)，
故f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，y=a^x-1是定義域（-∞，0）上的減函數(shù)，f（x）=log_at是（0，+∞）上的減函數(shù)，
故f（x）是（-∞，0）上的增函數(shù)．
綜上可得，函數(shù)是定義域上的增函數(shù)．
分析：（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得a^x-1＞0，分a＞1和1＞a＞0兩種情況分別求出x的取值范圍，即得函數(shù)的定義域．
（2）當(dāng)a＞1 時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）函數(shù)的增減性，當(dāng)1＞a＞0時(shí)，同理根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
求出f（x）函數(shù)的增減性．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．