Question

18．在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E為BC的中點(diǎn)，若F為該矩形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最大值為18．

Answer 1

分析 可分別以直線(xiàn)DC，DA為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出A，E的坐標(biāo)，并設(shè)F（x，y），從而可求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=4x-y+2$，這樣設(shè)z=4x-y+2，利用線(xiàn)性規(guī)劃的方法即可求出z的最大值，即求出數(shù)量積的最大值．

解答 解：據(jù)條件，分別以邊DC，DA所在直線(xiàn)為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：

A（0，2），E（4，1），設(shè)F（x，y），x0≤x≤4，0≤y≤2；
∴$\overrightarrow{AE}=（4，-1），\overrightarrow{AF}=（x，y-2）$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=4x-y+2$；
設(shè)z=4x-y+2，則y=4x+（2-z）；
∴2-z是直線(xiàn)y=4x+（2-z）在y軸上的截距，截距最小時(shí)，z最大；
可看出直線(xiàn)y=4x+（2-z）過(guò)點(diǎn)C（4，0）時(shí)z最大；
即0=16+2-z，z=18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，能確定平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，線(xiàn)性規(guī)劃求最值的方法．