Question

4．橢圓$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）焦點(diǎn)分別是F₁和F₂，過原點(diǎn)O作直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，△ABF₂面積最大值為18，則橢圓短軸長（　�。�

• A． 6
• B． 12
• C． 18
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為my=x，與橢圓方程聯(lián)立解得：y²=$\frac{45^{2}}{^{2}{m}^{2}+45}$，x²=$\frac{45{m}^{2}^{2}}{^{2}{m}^{2}+45}$．可得|AB|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，點(diǎn)F₂（c，0）到直線AB的距離d=$\frac{c}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．可得△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|AB|d，即可得出．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為my=x，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x}\\{\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：y²=$\frac{45^{2}}{^{2}{m}^{2}+45}$，x²=$\frac{45{m}^{2}^{2}}{^{2}{m}^{2}+45}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{6b\sqrt{5（1+{m}^{2}）}}{\sqrt{^{2}{m}^{2}+45}}$，
點(diǎn)F₂（c，0）到直線AB的距離d=$\frac{c}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$×$\frac{6b\sqrt{5（1+{m}^{2}）}}{\sqrt{^{2}{m}^{2}+45}}$×$\frac{c}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}bc}{\sqrt{^{2}{m}^{2}+45}}$≤bc，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號．
∴bc=18，
∴b²（45-b²）=324，解得b²=36，b=6．
∴橢圓短軸長=12．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．