Question

14．求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：
（1）與雙曲線$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1有公共焦點，且過點（3$\sqrt{2}$，2）；
（2）漸近線方程為2x±3y=0，頂點在y軸上，且焦距為2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）利用與雙曲線$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1有公共焦點，且過點（3$\sqrt{2}$，2），建立方程，即可求出雙曲線的標準方程；
（2）設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{m}{9}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{m}{4}}$=1，利用焦距為2$\sqrt{13}$，求出m，即可求出雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）由雙曲線$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1可求得c²=20．
∵兩雙曲線有公共的焦點，
∴a²+b²=20①
代入（3$\sqrt{2}$，2），可得$\frac{18}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}$=1②，
由①②可解得：a²=12，b²=8．
故所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{m}{9}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{m}{4}}$=1，
∵焦距為2$\sqrt{13}$，
∴$\frac{m}{9}$+$\frac{m}{4}$=13，∴m=36，
∴雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程，考查學生的計算能力，正確設出雙曲線方程是關鍵．