Question

8．已知函數(shù)f（x）滿足f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-x^-1），其中a＞0，a≠1．
（Ⅰ）對于函數(shù)f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數(shù)m的范圍；
（Ⅱ）當x∈（-∞，2）時，f（x）＜4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=log_ax，則x=a^t，可求得f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，可判斷f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）為增函數(shù)，且為奇函數(shù)，于是當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-m≤1}\\{{-1≤m}^{2}-1≤1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，解之即可求得實數(shù)m的范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）為R上的增函數(shù)，故當x∈（-∞，2）時，f（x）＜4恒成立?4＞f（x）_max，即4≥f（2）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2），于是可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）令t=log_ax，則x=a^t，f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-x^-1），
可化為：f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^t-a^-t），
即f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
∴當a＞1時，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，y=g（x）=a^x-a^-x為增函數(shù)，
又g（-x）=-g（x），故y=g（x）=a^x-a^-x為奇函數(shù)，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）為奇函數(shù)，
同理，當0＜a＜1時，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）為增函數(shù)．
∵當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-m≤1}\\{{-1≤m}^{2}-1≤1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得：1＜m≤$\sqrt{2}$．
即實數(shù)m的范圍為（1，$\sqrt{2}$]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）為R上的增函數(shù)，
∴當x∈（-∞，2）時，f（x）＜4恒成立?4＞f（x）_max，
又當x∈（-∞，2）時，f（x）取不到最大值，
∴4≥f（2）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2），即$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•$\frac{{（a}^{2}+1）{（a}^{2}-1）}{{a}^{2}}$≤4，整理得：a+$\frac{1}{a}$≤4，又a≠1，
解得：2-$\sqrt{3}$≤a＜1或1＜a≤2+$\sqrt{3}$．
∴實數(shù)a的取值范圍為[2-$\sqrt{3}$，1）∪（1，2+$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)方程思想，考查邏輯思維能力與運算能力，屬于難題．