Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]時，求函數(shù)f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化積．
（1）直接利用周期公式求得周期；
（2）由x的范圍求得相位的范圍，進一步求得函數(shù)的值域．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$=$sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（1）函數(shù)的最小正周期為t=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]，
∴f（x）∈[$-\frac{1}{2}，1$]，則函數(shù)f（x）的最小值和最大值分別為$-\frac{1}{2}，1$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．