Question

9．已知：$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，cosωx），ω＞0，記函數f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據向量數量積的坐標公式結合三角函數的輔助角公式進行化簡，結合周期公式建立方程進行求解；
（2）根據三角函數的單調性的性質進行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，cosωx），
∴$f（x）=-\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx$=$\frac{1}{2}（cos2ωx-\sqrt{3}sin2ωx）+\frac{1}{2}$=$cos（2ωx+\frac{π}{3}）+\frac{1}{2}$，
∵f（x）的最小正周期為π，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，得ω=1．
（2）由（1）得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$
由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，k∈Z．
即函數的單調遞減區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$+kπ，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查向量數量積的應用以及向量與三角函數的綜合，利用輔助角公式進行化簡結合周期求出ω的值是解決本題的關鍵．