Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx-a（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），證明：f（x）＜axlnx．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令g（x）=f（x）-axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，ax-1＜0，從而f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，若0＜x＜$\frac{1}{a}$，則ax-1＜0，從而f'（x）＜0，
若x＞$\frac{1}{a}$，則ax-1＞0，從而f'（x）＞0，
函數(shù)在（0，$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）單調(diào)遞增．
（2）令g（x）=f（x）-axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），
則g′（x）=-$\frac{1}{x}$-alnx，g″（x）=$\frac{1-ax}{{x}^{2}}$，
令g″（x）=0，解得：x=$\frac{1}{a}$，
①$\frac{1}{a}$≤1即a≥1時(shí)，g″（x）＜0，g′（x）在（1，+∞）遞減，
g′（x）＜g′（1）=-1＜0，故g（x）在（1，+∞）遞減，
g（x）＜g（1）=0，成立；
②$\frac{1}{a}$＞1即0＜a＜1時(shí)，
令g″（x）＞0，解得：1＜x＜$\frac{1}{a}$，
令g″（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故g′（x）在（1，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
∴g′（x）＜g′（$\frac{1}{a}$）=2lna-a+1，
令h（a）=2lna-a+1，（0＜a＜1），
則h′（a）=$\frac{2-a}{a}$＞0，h（a）在（0，1）遞增，
故h（a）＜h（1）=0，
故g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）遞減，
g（x）＜g（1）=0，成立；
綜上，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），f（x）＜axlnx．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．