Question

已知函數(shù)f（x）=

3

1+|x|

+

3

1+|x-2|

，則函數(shù)g（x）=f[f（x）]-3有

 

個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：畫(huà)出函數(shù)f（x）=

3

1+|x|

+

3

1+|x-2|

的草圖，分析函數(shù)的值域及f（x）=3的解，進(jìn)而由g（x）=f[f（x）]-3=0，得到f（x）=3，分類討論后，綜合討論結(jié)果，可得結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

3

1+|x|

+

3

1+|x-2|

的圖象如下圖所示：

由圖可知：f（x）∈（0，4]，
令f（x）=3，則x=a或x=1，或x=c，
其中a∈（-1，0），c∈（2，3），
若g（x）=f[f（x）]-3=0，
即f[f（x）]=3，
則f（x）=a，此時(shí)方程無(wú)解；
或f（x）=1，此時(shí)方程有兩解；
或f（x）=c，此時(shí)方程有兩解；
綜上所述，函數(shù)g（x）=f[f（x）]-3有4個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，其中畫(huà)出函數(shù)的草圖分析出函數(shù)的性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．