Question

設(shè)y₁=a^3x+1，y₂=a^-2x（a＞0，a≠1），確定x為何值時(shí)，有：
（1）y₁=y₂ ；
（2）y₁＞y₂．

Answer 1

分析：先將兩個(gè)函數(shù)抽象為指數(shù)函數(shù)：y=a^x，則
（1）轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程：3x+1=-2x求解．
（2）0＜a＜1，y=a^x是減函數(shù)，有3x+1＜-2x求解，當(dāng)a＞1時(shí)，y=a^x是增函數(shù)，有3x+1＞-2x求解，然后兩種情況取并集．

解答：解：（1）∵y₁=y₂ ，∴3x+1=-2x，
解之得：x=-

1

5

（2）因?yàn)閍＞1，所以指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)．
又因?yàn)閥₁＞y₂，所以有3x+1＞-2x，解得x＞-

1

5

；
若0＜a＜1，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)．
因?yàn)閥₁＞y₂，所以有3x+1＜-2x，解得x＜-

1

5

綜上：當(dāng)a＞1時(shí)，x＞-

1

5

；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜-

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)不等式的解法，這類問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解．