Question

2．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過右焦點F且斜率為k（k＞0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點．若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，則k=$\frac{\sqrt{23}}{2}$．

Answer 1

分析 設l為橢圓的右準線，過A、B作AA₁，BB₁垂直于l，過B作BE⊥AA₁于E，根據(jù)橢圓的第二定義，轉化求解即可．

解答 解：設l為橢圓的右準線，過A、B作AA₁，BB₁垂直于l，A₁，B₁為垂足，
過B作BE⊥AA₁于E，根據(jù)橢圓的第二定義，得
|AA₁|=$\frac{\left|AF\right|}{e}$，|BB₁|=$\frac{\left|BF\right|}{e}$，
∵$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，∴cos∠BAE=$\frac{\left|AE\right|}{\left|AB\right|}$=$\frac{\frac{\left|BF\right|}{e}}{3\left|BF\right|}$=$\frac{1}{3e}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
∴tan∠BAE=$\frac{\sqrt{23}}{2}$．
∴k=$\frac{\sqrt{23}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質的應用，橢圓的第二定義，考查轉化思想以及計算能力．