Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別是F₁（0，-1），F(xiàn)₂（0，1），3a²=4b²：
（Ⅰ）求橢圓的方程；　
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在這個橢圓上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知c=1，則a²-b²=1，又3a²=4b²，故a²=4，b²=3，
∴所求橢圓方程為：
（Ⅱ）由橢圓定義可得|PF₁|+|PF₂|=4，
∵|PF₁|-|PF₂|=1，∴|PF₁|=，|PF₂|=，
∵|F₁F₂|=2，
∴cos∠F₁PF₂==．
分析：（Ⅰ）利用橢圓幾何量之間的關(guān)系，結(jié)合3a²=4b²，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）利用橢圓的定義，結(jié)合|PF₁|-|PF₂|=1，及余弦定理，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，考查余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．