Question

若

a

=（sin²x，cos²x），

b

=（sin²x，-cos²x），f（x）=

a

•

b

+4cos²x+2

3

sinxcosx．如果?m∈R，對?x∈R都有f（x）≥f（m），則f（m）等于（　　）

• A、2+2

  3

• B、3
• C、0
• D、2-2

  3

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示已經(jīng)二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡計算可得f（x），求得f（x）的最小值，由題意令f（m）不大于最小值，再由f（m）不小于最小值，即可得到f（m）．

解答： 解：若

a

=（sin²x，cos²x），

b

=（sin²x，-cos²x），
則f（x）=

a

•

b

+4cos²x+2

3

sinxcosx=sin⁴x-cos⁴x+4cos²x+2

3

sinxcosx
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+2（1+cos2x）+

3

sin2x
=-cos2x+2cos2x+

3

sin2x+2=2+2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）=2sin（2x+

π

6

）+2，
由x∈R，則sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
即有f（x）∈[0，4]，
則f（x）的最小值為0，
?m∈R，對?x∈R都有f（x）≥f（m），
則f（m）≤0，又f（m）≥0，
則有f（m）=0．
故選：C．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查二倍角公式和兩角和差的正弦公式的運用，同時考查正弦函數(shù)的值域，運用不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵．