Question

如圖，在三棱錐中，直線平面，且

，又點(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn)，且點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．

證明：直線平面；

(2) 若，求二面角的平面角的余弦值．

 

 

Answer 1

(1)參考解析；(2)

【解析】

試題分析：（1）點(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn)所以, 平面PAC．所以平面PAC．同理證明MN 平面PAC．又由于．所以平面QMN平面PAC．又平面QMN．所以直線平面．

（2）根據(jù)已知條件建立坐標(biāo)系，寫出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出相應(yīng)的向量，計(jì)算平面QAN與MAN的法向量，求法向量的夾角，即可得到結(jié)論．

（1）．連結(jié)QM 因?yàn)辄c(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn)

所以QM∥PA MN∥AC QM∥平面PAC MN∥平面PAC

因?yàn)镸N∩QM=M 所以平面QMN∥平面PAC QK平面QMN

所以QK∥平面PAC 7分

（2）方法1：過M作MH⊥AN于H，連QH，則∠QHM即為

二面角的平面角, 令

即QM=AM=1所以

此時(shí)sin∠MAH=sin∠BAN= MH= 記二面角的平面角為

則tan= COS=即為所求。 14分

方法2：以B為原點(diǎn)，以BC、BA所在直線為x軸y軸建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

則A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),

=(0,-1,1),

記，則

取

又平面ANM的一個(gè)法向量，所以cos=

即為所求。 14分

考點(diǎn)：1．線面平行．2．面面平行．3．二面角的知識(shí)．