Question

已知函數(shù)f(x)=x³-x_n²++且存在x₀∈(0,),使f(x₀)=x₀.

(1)證明f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù);

設(shè)

其中,n=1,2,….

(2)證明x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n;

(3)證明.

Answer 1

思路分析:本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí),考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.

證明:(1)∵f′(x)=3x²-2x+=3(x-)²+＞0,

∴f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù).

(2)∵0＜x₀＜,即x₁＜x₀＜y₁.

又f(x)是增函數(shù),∴f(x₁)＜f(x₀)＜f(y₁),即x₂＜x₀＜y₂.

又x₂=f(x₁)=f(0)=＞0=x₁,y₂=f(y₁)=f()=＜=y₁,綜上,x₁＜x₂＜x₀＜y₂＜y₁.

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

①當(dāng)n=1時(shí),上面已證明成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),有x_k＜x_k+1＜x₀＜y_k+1＜y_k.

當(dāng)n=k+1時(shí),由f(x)是單調(diào)增函數(shù),有f(x_k)＜f(x_k+1)＜f(x₀)＜f(y_k+1)＜f(y_k),

∴x_k+1＜x_k+2＜x₀＜y_k+2＜y_k+1.

由①②知對(duì)一切n=1,2,…,都有x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n.

(3)=y_n²+x_ny_n+x_n²-(y_n+x_n)+≤(y_n+x_n)²-(y_n+x_n)+

=［(y_n+x_n)-］²+.

由(2)知0＜y_n+x_n＜1.

∴-＜y_n+x_n-＜.

∴＜()²+=.