Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，且a₅=

π

2

，若函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²

x

2

，記y_n=f（a_n），則數(shù)列{y_n}的前9項和為（　�。�

• A、0
• B、-9
• C、9
• D、1

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值

分析：確定數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可得f（a₁）+f（a₉）=f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，由此可得結(jié)論．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵a₅=

π

2

，∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π，
∵f（x）=sin2x+2cos²

x

2

，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∴f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，
同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，
∵f（a₅）=1，
∴數(shù)列{y_n}的前9項和為9．
故選C．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．