Question

（1）證明命題：若直線l過拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)F（，0），交拋物線于AB兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么•=-p²；
（2）寫出第（1）題中命題的逆命題．如其為真，則給出證明； 如其為假，則說明理由；
（3）把第（1）題中命題作推廣，使其是你推廣的特例，并對你的推廣作出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先討論出當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，的值；再設(shè)出直線方程，把直線與拋物線方程聯(lián)立，得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率之間的關(guān)系，再代入 計(jì)算即可得到結(jié)論．
（2）先寫出第（1）題中命題的逆命題．其為真，利用類似（1）的方法給出證明；
（3）先寫出推廣結(jié)論，再根據(jù)第一問求 的方法即可得到結(jié)論．（注意要分直線斜率存在和不存在兩種情況討論）．
解答：解：（1）若直線l垂直于x軸，則 ，.=．…（2分）
若直線l不垂直于軸，設(shè)其方程為 ，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由 ．…（4分）
∴=x₁x₂+y₁y₂===．
綜上，=為定值．…（6分）
（2）寫出第（1）題中命題的逆命題：
若直線l交拋物線于AB兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，•=-p²，那么直線l過拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)F（，0）．其為真，
證明如下：若直線l垂直于x軸，=．則，
AB過拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)F（，0）．…（4分）
若直線l不垂直于軸，設(shè)其方程為 y=k（x-m），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由 及 =得出m=p．
從而AB過拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)F（，0）．…（8分）
（3）關(guān)于橢圓有類似推廣的結(jié)論：
過橢圓 的一個焦點(diǎn)F的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，存在定點(diǎn)P，使 為定值．
證明：不妨設(shè)直線l過橢圓 的右焦點(diǎn)F（c，0）（其中 ）
若直線l不垂直于軸，則設(shè)其方程為：y=k（x-c），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由 得：
所以 ，．…（9分）
由對稱性可知，設(shè)點(diǎn)P在x軸上，其坐標(biāo)為（m，0）．
所以 =（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-（m+ck²）（x₁+x₂）+m²+c²k²
=（1+k²） -（m+ck²） +m²+c²k²
=
要使 為定值，
只要a⁴-a²b²-b⁴+a²m²-2a²cm=a²（m²-a²），
即
此時(shí) =m²-a²=…（12分）
若直線l垂直于x軸，則其方程為x=c，，．
取點(diǎn)
有 ==．…（13分）
綜上，過焦點(diǎn)F（c，0）的任意直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，存在定點(diǎn)
使 =．為定值．…（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．