Question

給出下列四個命題：①若直線l過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A、B兩點，則|AB|的最小值為2；②雙曲線C：

x2

16

-

y2

9

=-1的離心率為

3

5

；③若⊙C₁：x²+y²+2x=0⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，則這兩圓恰有2條公切線；④若直線l₁：a²x-y+6=0與直線l₂：4x-（a-3）y+9=9互相垂直，則a=-1．
其中正確命題的序號是

②③

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①根據(jù)拋物線的定義和性質進行判斷；②根據(jù)雙曲線的離心率公式進行判斷；③根據(jù)圓與圓的位置關系進行判斷．④根據(jù)直線垂直的條件進行判斷．

解答：解：①由y=2x²得x2=

1

2

y，∴2p=

1

2

，∴過拋物線焦點的直線，且與這條拋物線交于A、B兩點，則|AB|的最小值為

1

2

，∴①錯誤．
②由C：

x2

16

-

y2

9

=-1得雙曲線的標準方程為：

y2

9

-

x2

16

=1，即a=3，b=4，c=5，∴離心率為

c

a

=

5

3

，∴②錯誤．
③若⊙C₁：x²+y²+2x=0⊙C₂：ax²-y+6=0，則這兩圓恰有2條公切線；④若直線l₁：a²x-y+6=0與直線l₂：4x-（a-3）y+9=9互相垂直，則a=-1．
③∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圓心為（-1，0），半徑等于1的圓．⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圓心為（0，-1），半徑等于

2

的圓．兩圓的圓心距等于

2

，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，故兩圓的公切線由2條，∴③正確．
④當直線a²x-y+6=0與4x-（a-3）y+9=0互相垂直時，則有4a²+（a-3）=0，解得a=-1或

3

4

，∴④錯誤．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系，直線與圓的位置關系的判斷，熟練掌握圓錐曲線的方程和性質是解決本題的關鍵．