Question

已知橢圓C方程為，直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)，
（1）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)直線PA、PB斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

解：（1）將代入，
消去y并整理得4x²+4mx+4m²-12=0，
△=16m²-16（4m²-12）=48（4-m²）＞0，
-2＜m＜2．
x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
，，
∴弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程是在橢圓內(nèi)部部分．（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），A、B兩點(diǎn)在直線上
∴
=（12分）
分析：（1）將代入消去y并整理得4x²+4mx+4m²-12=0，由△＞0，知-2＜m＜2．再由x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，知弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程是在橢圓內(nèi)部部分．
（2）先設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），根據(jù)斜率公式即可求出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線 與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．