Question

（2012•淮南二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）與雙曲4x²-

4

3

y²=1有相同的焦點，且橢C的離心e=

1

2

，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先確定雙曲線中c的值，再利用橢圓的離心率，即可確定橢圓的方程；
（2）設(shè)M（x，y），P（4，z），則可得z=

6y

x+2

，利用PQ⊥MB及M在橢圓上，即可求Q的坐標；
（3）點P在直線MB上射影即PQ與MB的交點H，由QH⊥HB得△HQB為直角三角形，從而可求H點的軌跡方程．

解答：解：（1）由題意知，雙曲線4x²-

4

3

y²=1，∴c=1，
∵橢圓的離心率為e=

1

2

，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1           （3分）
（2）設(shè)M（x，y），P（4，z），則

MN

PD

=

AN

AD

，得

y

z

=

x+2

6

，故z=

6y

x+2

．
設(shè)Q（x₀，0），由PQ⊥MB得：

6y x+2

4-x0

×

y

x-2

=-1，
又M在橢圓上，故x²=4-

4

3

y2，化簡得x0=-

1

2

，即Q（-

1

2

，0）（8分）
（3）點P在直線MB上射影即PQ與MB的交點H，由QH⊥HB得△HQB為直角三角形，
設(shè)E為QB中點，則|HE|=

1

2

|QB|=

5

4

，E（

3

4

，0），
因此H點的軌跡方程為(x-

3

4

)2+y2=

25

16

(y≠0)（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是確定橢圓中的幾何量，利用垂直關(guān)系，建立等式，屬于中檔題．