分析：法一、（1）要證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面ADD1A1中三條已知直線與PC都不平行，故我們要考慮在平面ADD1A1中做一條與PC可能平行直線輔助線，然后再進行證明．
（2）要求二面角的余弦，要先構(gòu)造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出這個平面角的余弦值，進而給出二面角的余弦值．
（3）要求三棱錐的體積，只要求出底面的面積，及對應(yīng)的高代入棱錐體積公式，即可求解．
法二、構(gòu)造空間直角坐標系，求出各點的坐標，進行求出相應(yīng)直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法進行求解．
解答：
解：法一：（Ⅰ）證明：取CD的中點K，連接MK，NK
∵M，N，K分別為AK，CD
1，CD的中點
∵MK∥AD，NK∥DD
1∴MK∥面ADD
1A
1，NK∥面ADD
1A
1，又MK與NK交于K
∴面MNK∥面ADD
1A
1，
∴MN∥面ADD
1A
1（Ⅱ）設(shè)F為AD的中點
∵P為A
1D
1的中點∴PF∥D
1D∴PF⊥面ABCD
作FH⊥AE，交AE于H，連接PH，則由三垂線定理得AE⊥PH
從而∠PHF為二面角P-AE-D的平面角．
在Rt△AEF中，
AF=，EF=2a，AE=a，
從而
FH===在Rt△PFH中，
tan∠PFH===故：二面角P-AE-D的大小為
arctan（Ⅲ）
S△NEP=S矩形ECD1P=BC•CD1=•a•=a2作DQ⊥CD
1，交CD
1于Q，由A
1D
1⊥面CDD
1C
1得A
1C
1⊥DQ
∴DQ⊥面BCD
1A
1∴在Rt△CDD
1中，
DQ===a∴
VP-DEN=VD-ENP=S△NEP•DQ=
a2•a=
a3方法二：以D為原點，DA，DC，DD
1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，
則A（a，0，0），B（a，2a，0），C（0，2a，0），A
1（a，0，a），D
1（0，0，a）
∵E，P，M，N分別是BC，A
1D
1，AE，CD
1的中點
∴
E(，2a，0)，P(，0，a)，M(，a，0)，N(0，a，)，
（Ⅰ）
=(-a，0，)取
=(0，1，0)，顯然
⊥面ADD
1A
1•=0，
∴
⊥又MN∉面ADD
1A
1∴MN∥面ADD
1A
1（Ⅱ）過P作PH⊥AE，交AE于H，取AD的中點F，則
F(，0，0)∵設(shè)H（x，y，0），則
=(-x，-y，a)，=(-x，-y，0)又
=(-，2a，0)由
•=0，及H在直線AE上，可得：
解得
x=a，y=a∴
=(-，-，a)，=(-，-，0)∴
•=0即
⊥∴
與
所夾的角等于二面角P-AE-D的大小
cos?，＞==故：二面角P-AE-D的大小為
arccos（Ⅲ）設(shè)
=(x1，y1，z1)為平面DEN的法向量，
則
⊥，⊥又
=(，2a，0)，=(0，a，)，=(，0，a)∴
即
∴可取
=(4，-1，2)∴P點到平面DEN的距離為
d===∵
cos?，＞==，
sin?，＞=∴
S△DEN=||•||•sin?，＞=a2∴
VP-DEN=S△DEN•d=×a2×= 點評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．
求二面角，關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角，然后再將其轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．本題也可以用空間向量來解決，其步驟是：建立空間直角坐標系?明確相關(guān)點的坐標?明確相關(guān)向量的坐標?通過空間向量的坐標運算求解．
如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，AD=AA1=a，AB=2a，
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19、如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點P為DD1的中點．
15、如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中被截去一部分，
如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中，其中AB=BC，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點，則以下結(jié)論中
如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，P是線段AC的中點．
已知如圖：長方體ABCD-A1B1C1D1中，交于頂點A的三條棱長別為AD=3，AA1=4，AB=5．一天，小強觀察到在A處有一只螞蟻，發(fā)現(xiàn)頂點C1處有食物，于是它沿著長方體的表面爬行去獲取食物，則螞蟻爬行的最短路程是（ ）