Question

6．函數(shù)y=cos（sinx）是偶函數(shù)（填“奇”“偶”或“非奇非偶”），最小正周期為π．值域?yàn)閇cos1，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的定義即可證明，根據(jù)周期的定義即可求出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出值域．

解答 解：f（-x）=cos（sin（-x））=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x），
又-1≤sinx≤1，
∴f（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，-1≤sinx≤1，
∴最小正周期為π，
∵cos（sin（x+π））=cos（-sinx）=cos（sinx），顯然π是一個(gè)周期，
若該函數(shù)還有一個(gè)周期T＜π，則1=cos（sin0）=cos（sinT），即sinT=2kπ∈[-1，1]，即k只能為0，于是sinT=0，但0＜T＜π，矛盾！
∴最小正周期為π，
∵-1≤sinx≤1，cos（sinx）是偶函數(shù)，[0，$\frac{π}{2}$]區(qū)間單調(diào)遞減
∴cos（1）≤cos（sinx）≤cos（0）
∴值域?yàn)閇cos（1），1]，
故答案為：偶，π，[cos1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)的周期性質(zhì)，和值域，屬于中檔題．