Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)，且f（2）= ．
（1）求實數(shù)m和n的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ =﹣ = ．

比較得n=﹣n，n=0．

又f（2）= ，∴ = ，解得m=2．

即實數(shù)m和n的值分別是2和0

（2）解：函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1]上為增函數(shù)，在（﹣1，0）上為減函數(shù)．

證明如下：由（1）可知f（x）= = + ．

設(shè)x1＜x2＜0，

則f（x1）﹣f（x2）= （x1﹣x2）

= （x1﹣x2） ．

當x1＜x2≤﹣1時，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1]上為增函數(shù)；

當﹣1＜x1＜x2＜0時，

x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴函數(shù)f（x）在（﹣1，0）上為減函數(shù)

【解析】（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)的定義，列出方程，比較求解n，利用f（2）= ，求解m即可．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷求解即可．
【考點精析】掌握奇偶性與單調(diào)性的綜合是解答本題的根本，需要知道奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．