Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2elnx．（e為自然對數(shù)的底）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)a，b使得x²≥ax+b≥2elnx對于任意的正數(shù)x恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求函數(shù)的最小值，需要求出導(dǎo)函數(shù)并令其等于零得到x=1，然后分區(qū)間x＜1和x＞1，討論函數(shù)的增減性來判斷函數(shù)的極值，得到函數(shù)的最小值即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時，有f(x)≥f(

e

)=0，x²≥2elnx，則兩曲線y=x²，y=2elnx有唯一公共點(diǎn)(

e

，e)．若存在a，b，則直線y=ax+b是曲線y=x²和y=2elnx的公切線，切點(diǎn)為(

e

，e)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷

解答：（Ⅰ）解：由f（x）=x²-2elnx，得f′(x)=2x-

2e

x

（x＞0）．
令f'（x）=0，得x²=e，所以x=

e

．（2分）
當(dāng)0＜x＜

e

時，f'（x）＜0，所以f（x）在(0，

e

)內(nèi)是減函數(shù)；
當(dāng)x＞

e

時，f'（x）＞0，所以f（x）在(

e

，+∞)內(nèi)是增函數(shù)．（2分）
故函數(shù)f（x）在x=

e

處取得最小值f(

e

)=0．（2分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時，有f(x)≥f(

e

)=0，
即x²≥2elnx，當(dāng)且僅當(dāng)x=

e

時，等號成立．
即兩曲線y=x²，y=2elnx有唯一公共點(diǎn)(

e

，e)．（3分）
若存在a，b，則直線y=ax+b是曲線y=x²和y=2elnx的公切線，切點(diǎn)為(

e

，e)．（2分）
由（x²）'=2x，得直線y=ax+b的斜率為a=2

e

．
又直線y=ax+b過點(diǎn)(

e

，e)，所以e=2

e

•

e

+b，得b=-e．
故存在a=2

e

，b=-e，使得x²≥ax+b≥2elnx對于任意正數(shù)x恒成立．（3分）

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，研究函數(shù)的最值問題．考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識．